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vendredi 3 mars 2006

Combien de fois peut-on réellement replier un papier sur lui même ?

La légende veut qu'on ne puisse plier que 7 fois une feuille de papier sur elle-même. Cet état de fait viendrait d'un effet classique, la multiplication exponentielle (de base 2) de l'épaisseur de papier à plier : 1 épaisseur au premier pli, puis 2 épaisseurs au deuxième pli, 4 au troisième... et enfin 64 au septième. 
Il est effectivement quasi-impossible de plier jusqu'à une épaisseur 128 fois plus grande que la feuille originale... à condition d'une feuille classique, par exemple A4, que l'on plierait une fois dans un sens, la fois suivante dans le sens qui lui est perpendiculaire, et ainsi de suite.

Mais il n'est pourtant pas interdit de plier plusieurs fois dans le même sens la feuille afin d'augmenter le nombre de pli possibles. C'est ce qu'a démontré lors de sa thèse, et lors de l'émission Mythbuster (Janvier 2002) la mathématicienne Britney Gallivan, avec une feuille incroyablement longue de... papier toilette!
 
Britney Gallivan et son record 
L'opération lui a coûté 85$, pour 1200 mètres de papier toilette, qu'elle réussit alors à plier 12 fois dans le sens de la largeur. Non seulement elle apportait ainsi la preuve empirique qu'il est possible de plier plus de 7 fois une feuille de papier, mais elle développa une équation permettant de déterminer la longueur nécessaire d'une feuille de papier pour que celle-ci puisse être pliée en deux, ou autant de fois qu'on le veut. 

En pratique, une feuille doit être un peu plus de 3,14 fois plus longue qu'épaisse pour être pliée en deux. Pour être pliée en quatre, une feuille devra donc être un peu plus de deux fois plus longue, sachant qu'au deuxième pliage, l'épaisseur aura doublé.

A partir de cette constatation, on peut déduire facilement la longueur d'une feuille pour que celle-ci puisse être pliée n fois, toujours dans le même sens.


Notes : L est la longueur minimum de la feuille, t est son épaisseur et n, le nombre de pliages.

Si en théorie, il n y a pas de limite au nombre de pliages possibles, la pratique ne permet pas d'envisager un nombre de pliages supérieur à 15 ou 16 : d'une part, les forces exercées lors du pliage viendront immanquablement à briser la feuille de papier, d'autre part, avec le nombre de pliages, la longueur nécessaire croît de manière exponentielle. Une feuille de papier d'épaisseur 0,1 mm, pliée 51 fois, serait plus épaisse que la distance Terre-Soleil. Et sa longueur initiale serait nettement plus importante...